Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có hai điểm cực trị x₁, x₂ đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 là

A. −8;

B. \(3\sqrt {11} - 13\);

C. −39;

D. −21.

Đáp án đúng là: D.

Hàm số y = 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 có 2 điểm cực trị đồng thời y(x₁).y(x₂) = 0 khi và chỉ khi phương trình 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Ta có: 3x³ + 2(m + 1)x² – 3mx + m – 5 = 0

⇔ (x – 1)[3x² + (2m + 5)x + 5 – m] = 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = 1\\3{x^2} + (2m + 5)x + 5 - m = 0(*)\end{array} \right.\]

(1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

TH1: (*) có nghiệm kép khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {2m + 5} \right)^2} - 12\left( {5 - m} \right) = 0\\3 + 2m + 5 + 5 - m \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 32m - 35 = 0\\m \ne - 13\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{ - 8 \pm 3\sqrt {11} }}{2}\)

TH2: (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x = 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {2m + 5} \right)^2} - 12\left( {5 - m} \right)\\3 + 2m + 5 + 5 - m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 32m - 35 > 0\\m = - 13\end{array} \right.\)

⇔ m = −13

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn. Khi đó tổng của các giá trị m là:

\(\frac{{ - 8 + 3\sqrt {11} }}{2} + \frac{{ - 8 - 3\sqrt {11} }}{2} - 13 = - 21\).