Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.

$A.\frac{2\pi a^2}{3};$

$B.\frac{3\pi a^2}{2};$

$C.\frac{3\pi a^2}{4};$

$D.\frac{4\pi a^2}{3}.$

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Xét tứ diện ABCD có cạnh đều bằng a. Gọi G là tâm tam giác ABC, I và J lần lượt là trung điểm của CD, BC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}DG\perp \left(ABC\right)\\ CG=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$

Dựng mặt trung trực của CD, cắt DG tại O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

∆DGC vuông tại G  $\Rightarrow DG=\sqrt{D{C}^2-G{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

∆DOI đồng dạng với ∆DCG

$\Rightarrow \frac{OD}{DC}=\frac{DI}{DG}\Rightarrow \frac{OD}{a}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow OD=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Diện tích mặt cầu là:  $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2=\frac{3}{2}\pi a^2$

Vậy đáp án đúng là B