Tìm x, y thuộc Z với x, y > 1 sao cho (3x + 1) chia hết cho y và (3y + 1) chia hết cho x?

Ta có:

3x + 1 ⋮ y và 3y + 1 ⋮ x

Suy ra: (3x + 1)(3y + 1) ⋮ xy

Hay 9xy + 3x + 3y + 1 ⋮ xy

Mà 9xy ⋮ xy

Suy ra: 3x + 3y + 1 ⋮ xy

⇔ \(\frac{{3x}}{y} + 3 + \frac{1}{y}\)⋮ x

Do vai trò của x, y như nhau

Giả sử \(\frac{x}{y} \le 1\)

Suy ra: \(\frac{{3x}}{y} \le 3\)

y > 1 nên \(\frac{1}{y} < 1\)

\(\frac{{3x}}{y} + 3 + \frac{1}{y}\) < 3 + 3 + 1 = 7

Hay 1 < x < 7

Vậy x ∈ {2; 3; 4; 5; 6}

Thay x vào 3x + 1 ⋮ y ta được

y ∈ {7; 10; 13; 16; 19}

Vậy (x; y) ∈ {(2; 7), (3; 10), (4; 13), (5; 16), (6; 19)}.