Tìm x để P² > P biết \[P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\].

Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 1.

Vì P² > P

⇔ P² ‒ P > 0

⇔ P(P – 1) > 0

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P > 0\\p > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P < 0\\P < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P > 1\\P < 0\end{array} \right.\]

+) Với P > 1

\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} > 0\], mà 2 > 0

\[ \Rightarrow \sqrt x - 1 > 0\]

\[ \Rightarrow x > 1\]

+) Với P < 0

\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} < 0\]

Mà \[\sqrt x + 1 > 0\]

\[ \Rightarrow \sqrt x - 1 < 0\]

\[ \Leftrightarrow x < 1\]

Mà x ≥ 0, x ≠ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

Vậy để P² > P khi \[\left[ \begin{array}{l}x > 1\\0 \le x \le 1\end{array} \right.\]