Tìm x, biết: \(2\sqrt x + \sqrt {3x + 2} = 2 + \sqrt {x + 4} \).

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3x + 2 \ge 0\\x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\x \ge - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\)

\(2\sqrt x + \sqrt {3x + 2} = 2 + \sqrt {x + 4} \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt {3x + 2} - \sqrt {x + 4} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt {3x + 2} - \sqrt {x + 4} } \right)\left( {\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} } \right)}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{(3x + 2) - (x + 4)}}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2(x - 1)\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }}} \right) = 0\) (*)

Với x ≥ 0 ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {3x + 2} + \sqrt {x + 4} }} > 0\)

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \) x – 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.