Chọn D

Tập xác định của hàm số $ℝ\backslash \left\{2;3\right\}.$

Ta có $\underset{x\to 2}{\lim }y=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3x+1}{\left(x-3\right)\left(2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right)}=-\frac{7}{6}$. Suy ra, đường thẳng x = 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị.

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=+\infty$. Vì $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2-5x+6\right)=0\\ x^2-5x+6>0,\forall x>3\\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(2x-1-\sqrt{x^2+x+3}\right)=5-\sqrt{18}>0\end{array}\right..$

Suy ra, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.