Tìm tất cả các số tự nhiên n để G = n^2 - 14n - 256 là số chính phương
Tìm tất cả các số tự nhiên n để G = n2 − 14n − 256 là số chính phương.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để G = n2 − 14n − 256 là số chính phương.
Đặt n2 – 14n – 256 = a2 (a ∈ ℕ)
n2 – 14n – 256 = a2 \( \Leftrightarrow \) (n – 7)2 – a2 = 305 \( \Leftrightarrow \)(n – 7 – a)(n – 7 + a) = 305 = 1.305 = 61.5.
Vì n + a – 7 > n – a – 7 nên ta xét các trường hợp sau:
• TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = 1\\n + a - 7 = 305\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 160\\a = 152\end{array} \right.\)\(\)(TM)
• TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = - 305\\n + a - 7 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 146\\a = 152\end{array} \right.\) (loại)
• TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = 5\\n + a - 7 = 61\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 40\\a = 28\end{array} \right.\)\(\) (TM)
• TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}n - a - 7 = - 61\\n + a - 7 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 26\\a = 28\end{array} \right.\)\(\) (loại).
Vậy n = 40; n = 160.