Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x² + x + 6 là một số chính phương.

Đặt x² + x + 6 = a² (với a > 0)

Û 4x² + 4x + 24 = 4a²

Û (2x + 1)² + 23 = 4a²

Û (2x + 1)² − 4a² = 23

Û (2x + 1 − 2a)(2x + 1 + 2a) = −23

Mà 7963 là số nguyên tố nên suy ra

+) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 1\\2x + 1 + 2a = 23\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 1\\x + a = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\a = 6\end{array} \right.\)

+) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 23\\2x + 1 + 2a = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 12\\x + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\a = 6\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 và x = −6 là các giá trị của x thỏa mãn