Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x² + 5y² = 74.

Ta có 6x² + 5y² = 74.

⇔ 6(x² – 4) = 5(10 – y²)      (1)

Từ (1), ta suy ra 6(x² – 4) ⋮ 5 và (6; 5) = 1.

⇒ x² – 4 ⋮ 5.

⇒ x² = 5k + 4 (k ∈ ℕ).

Thay x² – 4 = 5k vào (1) ta được: 30k = 5(10 – y²).

⇒ 6k = 10 – y².

⇒ y² = 10 – 6k.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5k + 4 > 0\\10 - 6k > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{5} < k < \frac{5}{3}\).

Mà k ∈ ℕ.

Do đó ta nhận k ∈ {0; 1}.

Với k = 0, ta có y² = 10. Suy ra \(y = \pm \sqrt {10} \) (loại vì y nguyên dương).

Với k = 1, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5k + 4 = 5.1 + 4 = 9\\{y^2} = 10 - 6k = 10 - 6.1 = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 2\end{array} \right.\)

Vì x, y nguyên dương nên ta nhận x = 3, y = 2.

Vậy (x, y) ∈ {(3; 2)} thỏa mãn yêu cầu bài toán.