Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị hàm $y=\frac{-x+1}{2x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-x+1}{2x-1}=x+m$$\iff 2x^2+2mx-m-1=0$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì phương trình $2x^2+2mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $\ne \frac{1}{2}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=m^2+2m+1={\left(m+1\right)}^2+1>0\forall x\in ℝ\\ 2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2m.\frac{1}{2}-m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \forall m\in ℝ.$

Vậy $m\in ℝ$.