Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=\left(2m^2+m+1\right)x+\left(2m^2-m+1\right)\sin x$  luôn đồng biến trên $\left(0;2\pi \right)$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có, $y\text{'}\left(x\right)=2m^2+m+1+\left(2m^2-m+1\right)\cos x$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$  khi và chỉ khi $y\text{'}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;2\pi \right)$

$\iff 2m^2+m+1+\left(2m^2-m+1\right)\cos x\ge 0,\forall x\in \left(0;2\pi \right)$

$\iff \frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le \cos x\forall x\in \left(0;2\pi \right)$ vì $2m^2-m+1>0$  với mọi .

Hàm số $g\left(x\right)=\cos x\in \left[-1;1\right]$  khi $x\in \left(0;2\pi \right)$ .

Do đó $\frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le \cos x\forall x\in \left(0;2\pi \right)\iff \frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le -1\iff m\ge 0$ .