Cho hình nón (N) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng R, gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt OM = x (0 < x < h).

A. $\frac{h\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{h}{2}$

C. $\frac{h}{3}$

D. $\frac{h\sqrt{2}}{2}$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Ta có tam giác SMA' đồng dạng với tam giác SOA nên $\frac{A^{\text{'}}M}{AO}=\frac{SM}{SO}=\frac{SO-MO}{SO}=1-\frac{x}{h}$ .

Gọi V là thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C), khi đó: $V=\frac{1}{3}MO\pi A^{\text{'}}{M}^2=\frac{1}{3}x\pi R^2{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2=\frac{h\pi R^2}{6}\frac{2x}{h}\left(1-\frac{x}{h}\right)\left(1-\frac{x}{h}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si

$V=\frac{h\pi R^2}{6}\frac{2x}{h}\left(1-\frac{x}{h}\right)\left(1-\frac{x}{h}\right)\le \frac{h\pi R^2}{6}{\left(\frac{\frac{2x}{h}+1-\frac{x}{h}+1-\frac{x}{h}}{3}\right)}^3=\frac{4h\pi R^2}{81}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{2x}{h}=1-\frac{x}{h}\iff x=\frac{h}{3}$ .