Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;-1;1), C(1;1;2), D(3;3;-6). Điểm M(a;b;c) di động trên mặt phẳng (Oxy). Khi biểu thức$P=6M{A}^2+4M{B}^2-8M{C}^2+M{D}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a + b + c bằng

Đáp án đúng là: C

Xét điểm $I\left(x;y;z\right)$  thỏa mãn $:6\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}-8\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$ . (*)

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(1-x;-1-y;2-z\right);\overrightarrow{IB}=\left(2-x;-1-y;1-z\right)$ ;

.$\overrightarrow{IC}=\left(1-x;1-y=2-z\right);\overrightarrow{ID}=\left(3-x;3-y;-6-z\right)$

Từ (*), ta có: $\left\{\begin{array}{l}6\left(1-x\right)+4\left(2-x\right)-8\left(1-x\right)+\left(3-x\right)=0\\ 6\left(-1-y\right)+4\left(-1-y\right)-8\left(1-y\right)+\left(3-y\right)=0\\ 6\left(2-z\right)+4\left(1-z\right)-8\left(2-z\right)+\left(-6-z\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-3x=-9\\ -3y=15\\ -3z=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-5\\ z=-2\end{array}\right.$$\Rightarrow I\left(3;-5;-2\right)$.

Khi đó $P=6M{A}^2+4M{B}^2-8M{C}^2+M{D}^2=6{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+4{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2-8{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)}^2$

$=3M{I}^2+6I{A}^2+4I{B}^2-8I{C}^2+I{D}^2$.

Khi $P_{\min }\iff M{I}_{\min }$ . Khi đó M là hình chiếu của I trên Oxy: m(3;-5;0.

Do đó a + b + c = -2.