Cho hàm số $y=\frac{x-4}{x^3-2m{x}^2+\left(m^2+1\right)x-m}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2023;2023] để đồ thị hàm số có đúng 4 đường tiệm cận?

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$  và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=0$  suy ra  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có đúng 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi $g\left(x\right)=x^3-2m{x}^2+\left(m^2+1\right)x-m=0$ có 3 nghiệm phân biệt khác 4.

Mặt khác $g\left(x\right)=\left(x-m\right)\left(x^2-mx+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m\\ h\left(x\right)=x^2-mx+1=0.\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}h\left(4\right)\ne 0\\ m\ne 4\\ h\left(m\right)\ne 0\\ {\Delta }_h=m^2-4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne \frac{17}{4}\\ m\ne 4\\ \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-2.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vì m nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] nên có 4041 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.