Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-3}$  và mặt phẳng (P):2x – z + 1 = 0. Mặt phẳng $\left(\alpha \right):ax+5y+bz+c=0$  chứa  và tạo với mặt phẳng (P) một góc $45°$ . Khi đó a + b + c bằng

Đáp án đúng là: D

Ta thấy $\Delta$  chứa O và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;-3\right)$ .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_P=\left(2;0;-1\right)$ .

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left(a;5;b\right)$ .

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  chứa $\Delta$  suy ra c = 0 và $\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{n}}_{\alpha }=0\iff a=5+3b$ .(1)

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  tạo với mặt phẳng (P) một góc $45°$  suy ra

$\cos 45°=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\cdot {\overrightarrow{n}}_P\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_P\right|}\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{a^2+b^2+25}}\iff 5\left(a^2+b^2+25\right)=2{\left(2a-b\right)}^2$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $b=1\Rightarrow a=8$ .

Vậy a + b + c = 9.