Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x+1}{x+1}=x+m-1\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+\left(m-2\right)x+m-2=0\left(\ast \right)\\ x\ne -1\end{array}\right.$

Đường thẳng $y=x+m-1$  cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$  tại hai điểm phân biệt

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $x\ne -1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ {\left(-1\right)}^2+\left(m-2\right)\left(-1\right)+\left(m-2\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-2\right)}^2-4\left(m-2\right)>0\\ 1\ne 0\text{ (t/m)}\end{array}\right.\iff m\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(6;+\infty \right)$. 

Khi đó phương trình (*)  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  là hoành độ hai điểm A,B .

$\Rightarrow A\left(x_1;x_1+m-1\right),B\left(x_2;x_2+m-1\right)$.

Ta có $AB=2\sqrt{3}\iff \sqrt{2{\left(x_2-x_1\right)}^2}=2\sqrt{3}\iff {\left(x_2+x_1\right)}^2-4x_2.x_1=6$$\iff {\left(m-2\right)}^2-4\left(m-2\right)=6$

$\iff m^2-8m+6=0\iff m=4\pm \sqrt{10}.$