Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{\sqrt{2x^2-2x-m}-x-1}$ có đúng bốn đường tiệm cận.

Chọn D

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$và $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ suy ra đồ thị hàm số có đường hai tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$và $y=-\frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Để đồ thị có đúng bốn đường tiệm cận thì phương trình $\sqrt{2x^2-2x-m}-x-1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1

Ta có $\sqrt{2x^2-2x-m}-x-1=0$$\iff \sqrt{2x^2-2x-m}=x+1$ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x^2-4x-1=m\left(1\right)\end{array}\right.$

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x\ge -1$ và $x\ne 1$.

Xét hàm số $y=x^2-4x-1$ với $x\ge -1$ và $x\ne 1$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên phương trình $x^2-4x-1=m$ với $x\ge -1$ và $x\ne 1$ có hai nghiệm thì $m\in \left(-5;4\right]\backslash \left\{-4\right\}$.