Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x+1=mcăn 2x^2+1 có hai nghiệm phân biệt.

A. $-\frac{\sqrt{2}}{2}<m<\frac{\sqrt{6}}{6}$

B. $m<\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $m>\frac{\sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}<m<\frac{\sqrt{6}}{2}$

Trả lời

Chọn D

Ta có $x+1=m\sqrt{2x^2+1}$$\iff m=\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}$.

Đặt $f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}$, $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1-2x}{\left(2x^2+1\right)\sqrt{2x^2+1}}$,$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ta có BBT

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi $\frac{\sqrt{2}}{2}<m<\frac{\sqrt{6}}{2}V$.