Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x⁴ – x³ + 1 = y².

Ta có x⁴ – x³ + 1 = y².

⇔ 4x⁴ – 4x³ + 4 = 4y².

Ta có:

⦁ 4x⁴ – 4x³ + 4 = (2x² – x – 1)² + 3x² – 2x + 3 > (2x² – x – 1)².

⦁ 4x⁴ – 4x³ + 4 = (2x² – x + 3)² – 13x² + 6x – 5 < (2x² – x + 3)².

Suy ra (2x² – x – 1)² < (2y)² < (2x² – x + 3)².

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2y} \right)^2} = {\left( {2{x^2} - x} \right)^2}\\{\left( {2y} \right)^2} = {\left( {2{x^2} - x + 1} \right)^2}\\{\left( {2y} \right)^2} = {\left( {2{x^2} - x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^4} - 4{x^3} + 4 = {\left( {2{x^2} - x} \right)^2}\\4{x^4} - 4{x^3} + 4 = {\left( {2{x^2} - x + 1} \right)^2}\\4{x^4} - 4{x^3} + 4 = {\left( {2{x^2} - x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\5{x^2} - 2x - 3 = 0\\9{x^2} - 4x = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = 1\\x = - \frac{3}{5}\\x = 0\\x = \frac{4}{9}\end{array} \right.\)

Mà x ∈ ℤ nên ta nhận x ∈ {–2; 2; 1; 0}.

Với x = –2, ta có y² = x⁴ – x³ + 1 = 25.

Suy ra y = 5 hoặc y = –5.

Với x = 2, ta có y² = x⁴ – x³ + 1 = 9.

Suy ra y = 3 hoặc y = –3.

Với x = 1, ta có y² = x⁴ – x³ + 1 = 1.

Suy ra y = 1 hoặc y = –1.

Với x = 0, ta có y² = x⁴ – x³ + 1 = 1.

Suy ra y = 1 hoặc y = –1.

Vậy (x, y) ∈ {(–2; 5), (–2; –5), (2; 3), (2; –3), (1; 1), (1; –1), (0; 1), (0; –1)}.