Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \frac{{2x}}{{x - 1}}\);

b) \(y = \frac{1}{{\cos x - \cos 3x}}\);

c) \(y = \frac{1}{{\cos x + \sin 2x}}\);

d) y = tan x + cot x.

Lời giải

a) Biểu thức \(\cos \frac{{2x}}{{x - 1}}\) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

b) Biểu thức \(\frac{1}{{\cos x - \cos 3x}}\) có nghĩa khi cos x – cos 3x ≠ 0 hay cos x ≠ cos 3x

⇔ 3x ≠ ± x + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x ≠ k\(\frac{\pi }{2}\) (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Biểu thức \(\frac{1}{{\cos x + \sin 2x}}\) có nghĩa khi cos x + sin 2x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ – sin 2x

⇔ cos x ≠ sin (– 2x) \( \Leftrightarrow \cos x \ne \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \cos x \ne \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \\x \ne - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\, - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Biểu thức tan x + cot x có nghĩa khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).