Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = sin ( pi /4 + x) - cos ( pi /4 - x); b) B = cos ( pi 6} - x) - sin ( pi /3 + x); c) C = sin ^2x + cos ( pi /3 - x)cos (pi /3 + x)
46
08/09/2024
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=sin(π4+x)−cos(π4−x);
b) B=cos(π6−x)−sin(π3+x);
c) C=sin2x+cos(π3−x)cos(π3+x);
d) D=1−cos2x+sin2x1+cos2x+sin2x.cotx.
Trả lời
Lời giải
a) Cách 1:
A=sin(π4+x)−cos(π4−x)
=(sinπ4cosx+cosπ4sinx)−(cosπ4cosx+sinπ4sinx)
=(√22cosx+√22sinx)−(√22cosx+√22sinx)=0∀x.
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Cách 2:
A=sin(π4+x)−cos(π4−x)
=sin(π4+x)−sin[π2−(π4−x)]
=sin(π4+x)−sin(π4+x)=0∀x.
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) B=cos(π6−x)−sin(π3+x)
=cos(π6−x)−cos[π2−(π3+x)]
=cos(π6−x)−cos(π6−x)=0∀x.
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
c) C=sin2x+cos(π3−x)cos(π3+x)
=sin2x+12[cos(π3−x+π3+x)+cos(π3−x−π3−x)]
=sin2x+12(cos2π3+cos(−2x))
=sin2x+12(−12+cos2x)
=sin2x+12[−12+(1−2sin2x)]
=sin2x+12(12−2sin2x)
=sin2x+14−sin2x=14∀x.
Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.
d) D=1−cos2x+sin2x1+cos2x+sin2x.cotx
=1−(1−2sin2x)+2sinxcosx1+(2cos2x−1)+2sinxcosx.cotx
=2sin2x+2sinxcosx2cos2x+2sinxcosx.cotx
=2sinx(sinx+cosx)2cosx(cosx+sinx).cotx
=sinxcosx.cotx=tanx.cotx=1∀x.
Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.