Lời giải
a) Ta có y = sin x – cos x = √2sin(x−π4).
Vì −1≤sin(x−π4)≤1 nên −√2≤√2sin(x−π4)≤√2, với mọi x∈R.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là √2, đạt được khi sin(x−π4)=1
⇔x−π4=π2+k2π(k∈Z) ⇔x=3π4+k2π(k∈Z).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −√2, đạt được khi sin(x−π4)=−1
⇔x−π4=−π2+k2π(k∈Z) ⇔x=−π4+k2π(k∈Z).
b) Ta có y = sin x + sin(π3−x) =2sinx+π3−x2cosx−π3+x2
=2sinπ6cos(x−π6)=2.12cos(x−π6)=cos(x−π6).
Ta có −1≤cos(x−π6)≤1∀x∈R.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos(x−π6)=1⇔x−π6=k2π(k∈Z)⇔x=π6+k2π(k∈Z) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi cos(x−π6)=−1⇔x−π6=π+k2π(k∈Z)⇔x=7π6+k2π(k∈Z).
c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x
= 1 – 2 (sin x cos x)2 = 1−2.(sin2x2)2= 1−12sin22x
= 1−12.1−cos4x2 = 1−14+14cos4x = 34+14cos4x.
Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên −14≤14cos4x≤14, do đó 34−14≤34+14cos4x≤34+14
hay 12≤34+14cos4x≤1∀x∈R.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)
⇔x=kπ2(k∈Z).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 12, đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)
⇔x=π4+kπ2(k∈Z).
d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1
= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1
= 2cos2 x + 2cos x – 2
= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].
Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −52, đạt được khi cosx=−12⇔x=±2π3+k2π(k∈Z).