Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p a) y = sin x – cos x; b) y = sin x + sin( pi /3 - x); c) y = sin^4 x + cos^4 x; d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sin(π3x);

c) y = sin4 x + cos4 x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Trả lời

Lời giải

a) Ta có y = sin x – cos x = 2sin(xπ4).

1sin(xπ4)1 nên 22sin(xπ4)2, với mọi xR.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi sin(xπ4)=1

xπ4=π2+k2π(kZ) x=3π4+k2π(kZ).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi sin(xπ4)=1

xπ4=π2+k2π(kZ) x=π4+k2π(kZ).

b) Ta có y = sin x + sin(π3x) =2sinx+π3x2cosxπ3+x2

=2sinπ6cos(xπ6)=2.12cos(xπ6)=cos(xπ6).

Ta có 1cos(xπ6)1xR.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos(xπ6)=1xπ6=k2π(kZ)x=π6+k2π(kZ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi cos(xπ6)=1xπ6=π+k2π(kZ)x=7π6+k2π(kZ).

c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x

= 1 – 2 (sin x cos x)2 = 12.(sin2x2)2= 112sin22x

= 112.1cos4x2 = 114+14cos4x = 34+14cos4x.

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên 1414cos4x14, do đó 341434+14cos4x34+14

hay 1234+14cos4x1xR.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 4x = k2π (k ℤ)

x=kπ2(kZ).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 12, đạt được khi cos 4x = – 1 4x = π + k2π (k ℤ)

x=π4+kπ2(kZ).

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos2 x + 2cos x – 2

= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Media VietJack

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 x = k2π (k ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 52, đạt được khi cosx=12x=±2π3+k2π(kZ).

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả