Giải các phương trình sau: a) sin 5x + cos 5x = – 1; b) cos 3x – cos 5x = sin x; c) 2 cos^2 x + cos 2x = 2; d) sin^4 x + cos^4 x = 1/2sin^2 2x.
28
08/09/2024
Giải các phương trình sau:
a) sin 5x + cos 5x = – 1;
b) cos 3x – cos 5x = sin x;
c) 2 cos2 x + cos 2x = 2;
d) sin4 x + cos4 x = 12sin2 2x.
Trả lời
Lời giải
a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1
⇔√2sin(5x+π4)=−1
⇔sin(5x+π4)=−1√2
⇔sin(5x+π4)=sin(−π4)
⇔[5x+π4=−π4+k2π5x+π4=π−(−π4)+k2π(k∈Z)
⇔[x=−π10+k2π5x=π5+k2π5(k∈Z).
b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x
⇔−2sin3x+5x2sin3x−5x2=sinx
⇔−2sin4xsin(−x)=sinx
⇔2sin4xsinx−sinx=0
⇔sinx(2sin4x−1)=0
⇔[sinx=0sin4x=12.
+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).
+ Với sin4x=12⇔sin4x=sin(π6)
⇔[4x=π6+k2π4x=π−π6+k2π(k∈Z)⇔[x=π24+kπ2x=5π24+kπ2(k∈Z).
c) Ta có 2 cos2 x + cos 2x = 2
⇔ (2 cos2 x – 1) + cos 2x = 1
⇔ cos 2x + cos 2x = 1
⇔ 2cos 2x = 1
⇔ cos 2x = 12
⇔ cos 2x = cosπ3
⇔ 2x = ±π3+k2π(k∈Z)
⇔x=±π6+kπ(k∈Z).
d) Ta có sin4 x + cos4 x = 12sin2 2x
⇔(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=12sin22x
⇔1−12(2sinxcosx)2=12sin22x
⇔1−12sin22x=12sin22x
⇔sin22x=1
⇔cos2x=0 (do sin2 2x + cos2 2x = 1)
⇔2x=π2+kπ(k∈Z)
⇔x=π4+kπ2(k∈Z).