Tìm số tự nhiên có 3 chữ số lớn nhất biết số đó chia cho 3; 7; 11 có số dư lần lượt 1; 3; 8.

Gọi n là số cần tìm (n ∈ ℕ)

Do n chia 3 dư 1 nên n = 3a + 1 (a ∈ ℕ).

Ta có n + 179 = 3a + 1 + 179

= 3a + 180 = 3(a + 60)

Suy ra n + 179 ​⋮ 3           (1)

Tương tự, ta có:

• n = 7b + 3 (b ∈ ℕ) nên n + 179 = 7(b + 26)

Do đó (n + 179) ⋮ 7         (2)

• n = 11c + 8 (c ∈ ℕ) nên n + 179 = 11(c + 17)

Do đó n + 179 ⋮ 11         (3)

Từ (1), (2), (3) ta có n + 179 là ƯC(3, 7, 11).

Do 3; 7; 11 là các số nguyên tố cùng nhau

Nên ƯC(3, 7, 11) = 3 . 7 . 11m =  231m (m ∈ ℕ)

Như vậy: n + 179 = 231m, (m ∈ ℕ) suy ra n = 231m – 179, (m ∈ ℕ)    (4)

Theo đề bài, ta cần tìm n là số lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn điều kiện (4)

• Xét m = 6, ta có n = 231 . 6 − 179 = 1207 (không TMĐK vì n có ba chữ số)

• Xét m = 5, ta có n = 231 . 5 − 179 = 976 (không TMĐK vì n có ba chữ số)

Vậy n = 976 là số lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn điều kiện của đề bài.