Tìm số nguyên x để giá trị mỗi phân thức sau là số nguyên 7/(x^2 - x + 1)

Trả lời

Để \(\frac{7}{{{x^2} - x + 1}} \in \mathbb{Z}\)

Þ 7 ⋮ x² − x + 1

Þ x² − x + 1 Î Ư(7) = {±1; ±7}

Mà x² − x + 1

\( = {x^2} - 2x\,.\,\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\)

\( = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\)

Þ x² − x + 1 Î {1; 7}

• x² − x + 1 = 1

Û x² − x = 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

• x² − x + 1 = 7

Û x² − x − 6 = 0

Û (x + 2)(x − 3) = 0\

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy với x Î {0; 1; −2; 3} thì \(\frac{7}{{{x^2} - x + 1}} \in \mathbb{Z}\).