Tìm số nguyên n để n^2 + 3n + 3 chia hết cho 2n + 1
Tìm số nguyên n để n2 + 3n + 3 chia hết cho 2n + 1.
Ta có: \[{n^2} + 3n + 3 = {n^2} + \frac{n}{2} + \frac{{5n}}{2} + 3 - \frac{5}{4}\]
\[ = \frac{n}{2}(2n + 1) + \frac{5}{4}(2n + 1) + \frac{7}{4}\]
Ta thấy n2 + 3n + 3 chia hết cho 2n + 1 nên 4(n2 + 3n + 3) chia hết cho 2n + 1.
4(n2 + 3n + 3) = 4n2 + 12n + 12
= 4n2 + 2n + 10n + 5 + 7
= 2n(2n + 1) + 5(2n + 1) + 7
= (2n + 1)(2n + 5) + 7
Vì (2n + 1)(2n + 5) chia hết cho 2n + 1 nên 7 chia hết cho 2n + 1.
Û 2n + 1 ∈ {±1; ±7}
Ta có bảng:
|
2n + 1 |
−1 |
1 |
−7 |
7 |
|
n |
−1 (TM) |
0 (TM) |
−4 (TM) |
3 (TM) |
Vậy n ∈ {−4; −1; 0; 3}.