Tìm số hữu tỉ x sao cho x² + x + 1991 là số chính phương.

Đặt x² + x + 1991 = a² (với a > 0)

Û 4x² + 4x + 7964 = 4a²

Û (2x + 1)² + 7963 = 4a²

Û (2x + 1)² − 4a² = 7963

Û (2x + 1 − 2a)(2x + 1 + 2a) = −7963

Mà 7963 là số nguyên tố nên suy ra

+) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 1\\2x + 1 + 2a = 7963\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 1\\x + a = 3981\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1990\\a = 1991\end{array} \right.\)

+) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - 2a = - 7963\\2x + 1 + 2a = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - a = - 3982\\x + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1991\\a = 1991\end{array} \right.\)

Vậy x = 1990 và x = −1991 là các giá trị của x thỏa mãn