Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\).

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{6xy}} = \frac{1}{6}\)

⇔ 6x + 6y + 1 = xy

⇔ 6x + 6y + 1 – xy = 0

⇔ xy – 6x – 6y + 36 – 37 = 0

⇔ (xy – 6x) – (6y – 36) = 37

⇔ x(y – 6) – 6(y – 6) = 37

⇔ (x – 6)(y – 6) = 37

Vì x, y là số nguyên dương nên (x – 6)(y – 6) ∈ Ư(37) .

Ư(37) = {1; 37}

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = 1\\y - 6 = 37\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = 37\\y - 6 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 43\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\y = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vây (x; y) ∈ {(7; 43), (43; 7)}.