Tìm m để mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0 (1)

+) \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

• Với m = 1, bất phương trình có dạng −8x + 8 ≥ 0 Û x ≤ 1.

Do đó m = 1 không thỏa mãn.

• Với m = −1, bất phương trình có dạng 8x + 8 ≥ 0 Û x ≥ −1.

Do đó m = −1 là một giá trị cần tìm.

+) m² − 1 ≠ 0 Û m ≠ ±1

Khi đó vế trái là tam thức bậc hai có ’= m⁴+6m²+ 9 > 0, "mÎℝ

Vaạy nên tam thức luôn có hai nghiệm a < b

Suy ra mọi x Î [0; +∞) đều là nghiệm của bất phương trình:

(m² − 1)x² − 8mx + 9 − m² ≥ 0 khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\{x_1} < {x_2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\{x_1} + {x_2} = \frac{{8m}}{{{m^2} - 1}} < 0\\{x_1}{x_2} = \frac{{9 - {m^2}}}{{{m^2} - 1}} \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l} - 3 \le m < - 1\\1 < m \le 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m < - 1\)

Từ đó suy ra m Î [−3; −1].