Tìm m để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x^2-2m\text{x}+1\le 0\end{array}\right.$ có nghiệm.

Ta có x – 1 > 0 ⇔ x > 1

Để hệ bất phương trình có nghiệm

Xét bất phương trình (1)

+) Với m = 1 thì (1) trở thành 0 > 0 (vô lí).

+) Với m > 1 ta có  $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m^2-1}\ge 0\\ 1-m<0\end{array}\right.$

Suy ra bất phương trình luôn đúng.

+) Với m ≤ –1 hai vế không âm

Suy ra m² – 1 ≥ (1 – m)²

⇔ m² – 1 ≥ m² – 2m + 1

⇔ m ≥ 1 (không thỏa mãn m ≤ –1)

Vậy m > 1 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.