Tìm m để hàm số $y=2x^3-4x^2+3\left(m+1\right)x-m$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ sao cho $x_1=3x_2$.

Tập xác định: $D=ℝ$.
Ta có $y^{\text{'}}=6x^2-8x+3\left(m+1\right)$.
$y^{\text{'}}=0\iff 6x^2-8x+3\left(m+1\right)=0\left(\ast \right)$
Phương trình (*) có ${\Delta }^{\text{'}}=-18m-2$.
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${\Delta }^{\text{'}}>0\iff -18m-2>0\iff m<-\frac{1}{9}$.
Do hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ nên $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*).
Theo Viet: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{4}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{m+1}{2}\end{array}\right.$ (1).
Theo giả thiết: $x_1=3x_2$(2).
Thế (2) vào (1) ta được: $\left\{\begin{array}{l}4x_2=\frac{4}{3}\\ 3x_2^2=\frac{m+1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{1}{3}\\ x_2^2=\frac{m+1}{6}\end{array}\right.$. Do đó $\frac{m+1}{6}=\frac{1}{9}\iff m=-\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.