Tìm giao điểm của (d) với trục hoành  ta xét phương trình hoành độ giao điểm

2x − 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Do đó (d) giao với trục hoành tại \(I\left( {\frac{1}{2};\;0} \right)\).

Để hai đường đã cho cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì đường y = 3x + m (d') cũng cắt trục hoành tại điểm I.

Suy ra tọa độ của I thỏa mãn phương trình đường thẳng (d')

\[ \Rightarrow 0 = 3\,.\,\frac{1}{2} + m \Rightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\].

Vậy \[m = \frac{{ - 3}}{2}\] là giá trị của tham số m thỏa mãn.