Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là ℝ (hay luôn xác định trên ℝ):

a) \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 3m + 5}}\).

b) \(y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + m - 6} \).

c) \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 5}}{{\sqrt {{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + m + 9} }}\).

a) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

⇔ x² + 2(m – 1)x + m² + 3m + 5 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆’ = (m – 1)² – (m² + 3m + 5) < 0.

⇔ m² – 2m + 1 – m² – 3m – 5 < 0.

⇔ –5m – 4 < 0.

\( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 4}}{5}\).

Vậy \(m > \frac{{ - 4}}{5}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

⇔ x² + 2(m – 1)x + m² + m – 6 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆’ = (m – 1)² – (m² + m – 6) ≤ 0.

⇔ m² – 2m + 1 – m² – m + 6 ≤ 0.

⇔ –3m + 7 ≤ 0.

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}\).

Vậy \(m \ge \frac{7}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

⇔ x² – 2(m + 3)x + m + 9 > 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆’ = (m + 3)² – (m + 9) < 0.

⇔ m² + 6m + 9 – m – 9 < 0.

⇔ m² + 5m < 0.

⇔ –5 < m < 0.

Vậy –5 < m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.