Tìm m để bất phương trình 2x^2 - (2m + 1)x + m^2 - 2m + 2 < = 0 nghiệm đúng với
Tìm m để bất phương trình 2x2 − (2m + 1)x + m2 − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\]
Tìm m để bất phương trình 2x2 − (2m + 1)x + m2 − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\]
Đặt f(x) =2x2 − (2m + 1)x + m2 − 2m + 2
Xét ∆ = −4m2 + 20m − 15
+) Nếu \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}\\m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x (loại)
+) Nếu \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\;\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\)
Khi đó f(x) có hai nghiệm
\({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},\;{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\;\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\;\)
Và f(x) ≤ 0 khi x1 ≤ x ≤ x2
Do đó yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le \frac{1}{2}\\{x_2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le 2\sqrt \Delta \\7 - 2m \le \sqrt \Delta \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \le 4\Delta \\{\left( {7 - 2m} \right)^2} \le \Delta \\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20{m^2} - 84m = 61 \le 0\\{m^2} - 6m + 8 \le 0\\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)
Vậy \(2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\).