Tìm hệ số của x^6 trong khai triển ( 1/x + x^3 ) ^ (3n+1)

Đề bài: Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển ${(\frac{1}{x}+x^3)}^{3n+1}$ với $x\ne \mathrm{0,}$ biết n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ${\text{3C}}_{\text{n\hspace{0.05em}+1}}^{\text{2}}{\text{+nP}}_{\text{2}}{\text{=4A}}_{\text{n}}^{\text{2}}$

 A.210.                   

B.252.                       

C.120.                   

 D.45.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:$\text{n}\ge \text{2.}$ Ta có

$\begin{array}{l}{\text{3C}}_{\text{n\hspace{0.05em}+1}}^{\text{2}}{\text{+ nP}}_{\text{2}}{\text{= 4A}}_{\text{n}}^{\text{2}}\\ \iff \text{3.}\frac{\left(\text{n+1}\right)\text{!}}{\left(\text{n-1}\right)\text{!.2!}}\text{ + 2n = 4.}\frac{\text{n!}}{\left(\text{n-2}\right)\text{!}}\\ \iff \frac{\text{3}}{\text{2}}\text{n}\left(\text{n + 1}\right)\text{ + 2n = 4n}\left(\text{n-1}\right)\end{array}$$\begin{array}{l}\iff \text{3}\left(\text{n + 1}\right)\text{ + 4 = 8}\left(\text{n-1}\right)\\ \iff \text{3n + 3 + 4 = 8n - 8}\\ \iff \text{5n = 15}\\ \iff \text{n = 3.}\end{array}$

Với n = 3, theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left(\frac{\text{1}}{\text{x}}{\text{+x}}^{\text{3}}\right)}^{\text{10}}\text{=}\sum _{k=0}^{10}{\text{C}}_{\text{10}}^{\text{k}}\text{.}{\left(\frac{\text{1}}{\text{x}}\right)}^{\text{10\hspace{0.05em}-\hspace{0.05em}k}}\text{.}{\left({\text{x}}^{\text{3}}\right)}^{\text{k}}\text{=}\sum _{k=0}^{10}{\text{C}}_{\text{10}}^{\text{k}}\text{.}\frac{{\text{x}}^{\text{3k}}}{{\text{x}}^{\text{10\hspace{0.05em}-\hspace{0.05em}k}}}\text{=}\sum _{k=0}^{10}{\text{C}}_{\text{10}}^{\text{k}}{\text{.x}}^{\text{4k\hspace{0.05em}-\hspace{0.05em}10}}\text{.}$

Hệ số của số hạng chứa x⁶ ứng với 4k – 10 = 6 k = 4

→ Hệ số cần tìm là $C_{10}^4=210.$

Đáp án cần chọn là: A