Tìm giá trị nhỏ nhất \[S = \frac{{{m^2} + 2m}}{{{m^2} - 2m + 4}}\].

\[S = \frac{{{m^2} + 2m}}{{{m^2} - 2m + 4}} = 1 + 4\,.\,\frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}}\].

Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt \(A = \frac{{m - 1}}{{{m^2} - 2m + 4}} \Leftrightarrow A{m^2} - (2A + 1)m + 4A + 1 = 0\)

+) TH1: A = 0 \( \Rightarrow m = 1\)

+) TH2: A ≠ 0: phương trình trên có nghiệm khi

\(\Delta = {\left( {2A + 1} \right)^2} - 4A\left( {4A + 1} \right) = - 12{A^2} + 1 \ge 0\)

\[ \Rightarrow - \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \le A \le \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là \[S = 1 + 4\,.\,\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right) = 1 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]