Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x² + y² + xy – 3x – 3y – 3.

Gọi A = x² + y² + xy – 3x – 3y – 3

= (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) – 6

= (x – 1)² + (y – 1)² + (x – 1)(y – 1) – 6

Vì  ${\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]}^2\ge 0,\forall x,y$

Suy ra A ≥ – 6 với mọi x, y

Dấu “ = ” xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{l}{\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]}^2=0\\ \frac{3}{4}{\left(y-1\right)}^2=0\end{array}\right.$

                             $\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=0\\ \iff y-1=0\end{array}\right.\iff x=y=1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –6 khi x = y = 1.