Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x³+y³+2x²y² biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.

P = (x + y)³ − 3xy (x + y) + 2x²y²

\[ = 2{x^2}{y^2} - 3xy + 1\].

Đặt t = xy, \[t \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\].

\[P = 2{t^2} - 3t + \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\]

\[ = \frac{1}{8}(4t - 1)(4t - 5) + \frac{3}{8} \ge \frac{3}{8}\]

Do đó, \[P \ge \frac{3}{8}\].

Đẳng thức xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1}\\{t = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = y\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \[\frac{3}{8}\] khi \[x = y = \frac{1}{2}\].