Tìm giá trị nhỏ nhất của  $A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{\text{yz}}+\frac{1}{z\text{x}}$ (x, y, z > 0) biết x² + y² + z² ≤ 3.

Áp dụng bất đẳng thức

Với a = xy, b = yz, c = xz ta có

 $\left(xy+yz+x\text{z}\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{x\text{z}}\right)\ge 9$                     (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

x² + y² ≥ 2xy (x, y > 0)

z² + y² ≥ 2yz (y, z > 0)

x² + z² ≥ 2xz (x, z > 0)

Suy ra x² + y² + z² + y² + x² + z² ≥ 2xy + 2yz + 2xz

⇔ x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Hay 3A ≥ 9

Do đó A ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = y = z.