Tìm giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

a) \[B = \frac{{2\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 1}}\];

b) \[C = \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\].

a) Điều kiện xác định: x ³ 0

Ta có: \[B = \frac{{2\sqrt x + 2 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\]

Þ B Î ℤ \[ \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}\]

Với \[\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1\]

\[ \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \le 5\]

\[ \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 1}} \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].

Ta có các bảng sau:

Kết luận: x Î {16; \[\frac{9}{4}\]; \[\frac{4}{9}\]; \[\frac{1}{{16}}\]; 0} thì B nhận giá trị nguyên.

b) Điều kiện xác định: x ³ 0

x ³ 0 \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x \ge 0\\x + \sqrt x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \ge 0\](*)

Ta có: \[x \ge 0 \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}}}{{\frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }}}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\]

\[ \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\] (**)

Từ (*) và (**) \[ \Rightarrow 0 \le \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}\]

Mà C nhận giá trị nguyên Þ C = 0 \[ \Rightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\].

Vậy với x = 0 thì C nhận giá trị nguyên.