Tìm diện tích nhỏ nhất của các tam giác cân ngoại tiếp đường tròn bán kính r cho trước
Tìm diện tích nhỏ nhất của các tam giác cân ngoại tiếp đường tròn bán kính r cho trước (tức đường tròn bán kính r nội tiếp tam giác cân).
Ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + {h^2}} }}{x} = \frac{{h - r}}{r}{\rm{\;}} \Rightarrow 1 + \frac{{{h^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{h}{r} - 1} \right)^2}\)
\( \Rightarrow \frac{h}{{{x^2}}} = \frac{h}{{{r^2}}} - \frac{2}{r}\)
\( \Rightarrow {x^2} = \frac{{h{r^2}}}{{h - 2r}}\)
\(S = hx \Rightarrow {S^2} = {(hx)^2} = \frac{{{h^3}{r^2}}}{{h - 2r}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{S^2}}} = \frac{{h - 2r}}{{{h^3}{r^2}}} = \frac{1}{{27{r^4}}} \cdot 27 \cdot \frac{r}{h} \cdot \frac{r}{h} \cdot \left( {1 - \frac{{2r}}{h}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{S^2}}} \le \frac{1}{{27{r^4}}}{\left( {\frac{r}{h} + \frac{r}{h} + 1 - \frac{{2r}}{h}} \right)^3} = \frac{1}{{27{r^4}}}\)
\( \Rightarrow S'' \ge 3\frac{1}{3}{r^2}\).