Tìm các số nguyên tố p và q sao cho 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố.

Vì p, q là số nguyên tố mà pq+11 cũng là số nguyên tố

⇒ pq chẵn

Giả sử p = 2

⇒ 7p + q = 14 + q

Mà 7p + q là số nguyên tố nên q lẻ

⇒ q = 3; 3k + 1; 3k + 2

Nếu q = 3 thì 14 + 3 =17 là số nguyên tố

                       2.3 + 11 = 17 là số nguyên tố

⇒ Thỏa mãn

Nếu q = 3k + 1 thì 14 + 3k + 1 = 15 + 3k = 3(5 + k) chia hết cho 3.

⇒ Không thỏa mãn

Nếu q = 3k + 2  thì 2(3k + 2) + 11 = 2.3k + 15 = 3(2k+5) chia hết cho 3.

⇒ Không thỏa mãn

⇒ p = 2; q = 3

Giả sử q = 2

⇒ p lẻ vì 7p+2 là số nguyên tố lớn hơn 3

⇒ p = 3; 3k + 1; 3k + 2

Nếu p = 3 thì 7.3 + 2 = 23 là số nguyên tố

                   2.3 +11 = 17 là số nguyên tố

⇒ Thỏa mãn

Nếu p = 3k + 1 thì 7(3 + 1) + 2 = 7.3k + 9 = 3(7k + 3) chia hết cho 3

⇒ Không thỏa mãn

Nếu p = 3k + 2 thì 2(3k + 2) + 11 = 2.3k + 15 = 3(2k + 5) chia hết cho 3

⇒ Không thỏa mãn

Do đó p = 3; q = 2

Vậy p = 3; q = 2.