Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 1)x² – 2mx + m = 0 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Với m − 1 ≠ 0 ta xét phương trình: (m – 1)x² – 2mx + m = 0 (1)

Ta có: Δ' = m² − m(m − 1) = m

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: Δ′ > 0 ⇔ m > 0

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của (1) và x₁ > 1, x₂ < 1

Ta có: (x₁ − 1)(x₂ − 1) < 0

⇔ x₁x₂ − (x₁ + x₂) + 1 < 0 (∗)

Theo Vi-et ta có: 

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m - 1}}}\end{array}} \right.\]

Thay vào (∗) ta có:

\[\frac{m}{{m - 1}} - \frac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\]

Vậy với m > 1thỏa mãn điều kiện bài toán.