Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên
a) \[\frac{2}{{x - 1}}\];
b) \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\];
c) \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\].
a) \[\frac{2}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1
Để \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 2 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(2) = {±1; ±2}.
Ta có bảng:
|
x - 1 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
x |
-1 (thoả mãn) |
0 (thoả mãn) |
2 (thoả mãn) |
3 (thoả mãn) |
Vậy với x Î {-1; 0; 1; 2; 3} thì biểu thức \[\frac{2}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên
b) \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] có điều kiện x ≠ 1.
Ta có: \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\].
Để nhận giá trị nguyên thì 1 ⋮ (x - 1) Û (x - 1) Î Ư(1) = {±1}.
Ta có bảng:
|
x - 1 |
-1 |
1 |
|
x |
0 (thoả mãn) |
2 |
Vậy với x Î {0; 2}\[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] thì biểu thức \[\frac{{x - 2}}{{x - 1}}\] nhận giá trị nguyên.
c) \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] có điều kiện là x ³ 0
\[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}\]
Để \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên thì 3 ⋮ \[\left( {\sqrt x + 1} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 3 \right) = {\rm{\{ }} \pm 1;\,\, \pm 3\} \].
Ta có bảng:
|
\[\sqrt x + 1\] |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
|
\[\sqrt x \] |
-4 (loại) |
-2 (loại) |
0 |
2 |
|
x |
|
|
0 (thoả mãn) |
4 (thoả mãn) |
Vậy với x Î {0; 4} thì biểu thức \[\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\] nhận giá trị nguyên.