Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - \left( {6m + 9} \right)x - 12\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung.

TXĐ: D =ℝ

Ta có y¢ = x² + 2mx − (6m + 9)

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁x₂ > 0

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} + 6m + 9 > 0\\ - 6m - 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\m < \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\]

Vậy \( - 3 \ne m < \frac{{ - 3}}{2}\) là các giá trị của m thỏa mãn.