Tất cả các giá trị thực của tham số m  sao cho hàm số $y=-x^4+\left(2m-3\right)x^2+m$  nghịch biến trên khoảng   $\left(1;2\right)$là $\left(-\infty ;\frac{p}{q}\right]$ , trong đó phân số $\frac{p}{q}$  tối giản và $q>0$ . Hỏi tổng $p+q$  là

Chọn C

Ta có$y=-x^4+\left(2m-3\right)x^2+m\Rightarrow y^{\text{'}}=-4x^3+2\left(2m-3\right)x=2x\left(-2x^2+2m-3\right)$ .

Hàm số $y=-x^4+\left(2m-3\right)x^2+m$  nghịch biến trên khoảng $\left(1;2\right)\iff y^{\text{'}}\le 0,\forall x\in \left(1;2\right)$    và  $y^{\text{'}}=0$chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng   (1,2)$\iff 2x\left(-2x^2+2m-3\right)\le 0,\forall x\in \left(1;2\right)$

$\iff -2x^2+2m-3\le 0,\forall x\in \left(1;2\right)\iff m\le x^2+\frac{3}{2},\forall x\in \left(1;2\right)$.

Đặt  $g\left(x\right)=x^2+\frac{3}{2}$và $g\left(x\right)$  liên tục tại $x=1,x=2$ .

Suy ra $m\le g\left(x\right),\forall x\in \left[1;2\right]\Rightarrow m\le \underset{\left[1;2\right]}{\min }g\left(x\right)$  .

Ta có  $g^{\text{'}}\left(x\right)=2x>0,\forall x\in \left(1;2\right)$ . Suy ra $g\left(x\right)=x^2+\frac{3}{2}$  đạt giá trị nhỏ nhất tại x=1  và $g\left(1\right)=\frac{5}{2}$   .

Vậy $m\in \left(-\infty ;\frac{5}{2}\right]\Rightarrow p+q=7$ .