Tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R_1=\frac{2}{3}.\frac{3.\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow S_1=\pi .{\left(R_1\right)}^2=3\pi \text{. }$

Tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow S_2=\pi .{\left(R_2\right)}^2=\frac{1}{4}.3\pi =\frac{1}{4}{S}_1\text{. }$

Tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R_3=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow S_3=\pi .{\left(R_3\right)}^2=\frac{1}{16}\cdot 3\pi =\frac{1}{4}{S}_2.$

...........................................................................
Tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R_n=\frac{\sqrt{3}}{2^{n-1}}\Rightarrow S_n=\frac{1}{4}{S}_{n-1}.$
Suy ra S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có $u_1=S_1=3\pi ,$ công bội $q=\frac{1}{4}.$
Vậy $S=\frac{S_1}{1-\frac{1}{4}}=4\pi .$

Chọn B