Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABD vuông tại A, ta có:
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
T a có: \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a + a}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra \(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).
b) Xét tam giác BDE và tam giác CDB có:
\(\frac{{DE}}{{DB}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)
\(\widehat {BDE}\) chung
Do đó ∆BDE ᔕ ∆CDB (c.g.c)
c) Cách 1: Xét tam giác ABD vuông tại A
Có AB = AD = a
Do đó, tam giác ABD vuông cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {BDA} = \widehat {ABD} = 45^\circ \]
Do ∆BDE ᔕ ∆CDB \( \Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)
Mặt khác: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\;\,\,\left( 3 \right)\)
Xét tam giác BCD có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD} = \widehat {ADB} = 45^\circ \,\,\;\left( 4 \right)\) (Tính chất góc ngoài)
Từ (3) và (4) ta suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \).
Cách 2: Ta có: AE = AD + DE = 2a.
Xét tam giác ABE vuông tại A
Ta có: \(\tan \widehat {AEB} = \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AEB} \approx 26^\circ 34'\).
Xét tam giác ABC vuông tại A
Ta có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 18^\circ 26'\).
Suy ra \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 26^\circ 34' + 18^\circ 26' = 45^\circ \).
Vậy \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {AEB} + \widehat {ACB} = 45^\circ \).