Tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), các cạnh b = 20 c = 35.

a) Tính chiều cao h_a.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Ta có a² = b² + c² – 2bc.cosA = 20² + 35² – 2.20.35.cos60° = 925.

Suy ra \(a = 5\sqrt {37} \).

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.20.35.\sin 60^\circ = 175\sqrt 3 \).

Từ công thức \(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\), ta có \({h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.175\sqrt 3 }}{{5\sqrt {37} }} = \frac{{70\sqrt {111} }}{{37}}\).

Vậy \({h_a} = \frac{{70\sqrt {111} }}{{37}}\).

b) Ta có \(2R = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{5\sqrt {37} }}{{\sin 60^\circ }} = \frac{{10\sqrt {111} }}{3}\).

Vậy \(R = \frac{{5\sqrt {111} }}{3}\).

c) Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{55 + 5\sqrt {37} }}{2}\).

Từ công thức S = pr, ta có \[r = \frac{S}{p} = \frac{{2.175\sqrt 3 }}{{55 + 5\sqrt {37} }} = \frac{{70\sqrt 3 .\left( {11 - \sqrt {37} } \right)}}{{84}} = \frac{{5\left( {11\sqrt 3 - \sqrt {111} } \right)}}{6}\].

Vậy \(r = \frac{{5\left( {11\sqrt 3 - \sqrt {111} } \right)}}{6}\).