Rút gọn \[A = \frac{{{x^5} - 2{x^4} + 2{x^3} - 4{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} + 2x - 8}}\].

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A = 0, A < 0, A > 0, có nghĩa, vô nghĩa.

a) Ta có:

• x⁵ - 2x⁴ + 2x³ - 4x² - 3x + 6

= x⁵ - 2x³ - 3x - 2x⁴ - 4x² + 6

= x(x⁴ + 2x² - 3) - 2(x⁴ + 2x² - 3)

= (x - 2)(x⁴ + 2x² - 3)

= (x - 2)[x⁴ - x² + 3x² - 3]

= (x - 2)[x²(x² - 1) + 3(x² - 1)]

= (x - 2)(x² - 1)(x² + 3)

= (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x² + 3)

• x² + 2x - 8 = x² - 2x + 4x - 8

= x(x - 2) + 4(x - 2)

= (x - 2)(x + 4)

Do đó \[A = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{x + 4}}\]

b) • A = 0 Þ \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{x + 4}} = 0\]

Þ (x - 1)(x + 1)(x² + 3) = 0

Dễ thấy x² + 3 ³ 3 > 0"x (vô nghiệm)

Nên \[\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]

• A có nghĩa khi x + 4 ≠ 0 Þ x ≠ -4

• A vô nghĩa khi x + 4 = 0 Þ x = -4

Tương tự A < 0 Þ - 1 < x < 1

• A > 0 Þ x Î (-∞; -1) È (1; +∞) \ {-4}